Question

在平面直角坐標中，邊長為2的正三角形OAB的頂點A在y軸正半軸上，點O在原點．現將正三角形OAB繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線上時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線于點M，點B在x軸投影為N（如圖）．求：
（1）初始狀態時直線AB的解析式；
（2）OA邊在旋轉過程中所掃過的面積；
（3）△OMN從開始運動到到停止狀態前后面積比．

Answer 1

解：（1）∵△OAB是邊長為2的正三角形，
∴OB=OA=2，∠AOB=60°，
∴∠BON=30°，
∴ON=OB•cos30°=2×=，
∴A（0，2），B（，1），
設直線AB的解析式為y=k₁x+b₁．
則，
解得：，
故直線AB的解析式y=-x+2；

（2）∵直線y=x與x軸的夾角為：60°，
∴∠AOM=30°，
∴OA邊掃過面積S=×π×2²=π；

（3）在初始狀態下，∵∠AOM=∠BOM=30°，
∴OB平分∠MON，
∴OM=ON，
∴△MON為正三角形，
∴S_△MOM=OM、ON•sin60°=．
停止運動時，
在△MON和△AOB中，
∵，
∴△MON≌△AOB（SAS），
∴S_△MON=，
則前后面積比為：．
分析：（1）由邊長為2的正三角形OAB的頂點A在y軸正半軸上，即可求得ON的長，則可求得A與B的坐標，然后利用待定系數法，即可求得初始狀態時直線AB的解析式；
（2）由OA邊在旋轉過程中所掃過的扇形的角為30°，半徑為2，則可利用扇形面積的求解方法求得OA邊在旋轉過程中所掃過的面積；
（3）由在初始狀態下，由OB平分∠MON，易得△MON為正三角形，則可求得△MON的面積，又由停止運動時，△MON≌△AOB，即可求得此時△MON的面積，繼而求得△OMN從開始運動到到停止狀態前后面積比．
點評：此題考查了待定系數法求一次函數的解析式、等邊三角形的判定與性質、三角函數、全等三角形的判定與性質以及扇形的面積公式．此題難度較大，綜合性較強，注意掌握數形結合思想的應用．