Question

【題目】我們給定兩個全等的正方形、，它們共頂點（如圖），可以繞頂點旋轉，，相交于點，以下各問題都以此為前提．

問題要求：

連接、（如圖），求證：，；

連接、（如圖），有三個結論：

①；

②；

③與位似．

請你從①，②，③三個結論中選擇一個進行證明：

（說明：選①做對的得分，選②做對的得分，選③做對的得分）

連接、（如圖），求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析；③．

【解析】

（1）根據正方形的性質，即可得AB=AD，∠BAE=90°﹣∠EAD=∠DAG，AE=AG，由邊角邊判定方法即可證得△ABE≌△ADG，即BE=DG；∵△ABE≌△ADG，AB⊥AD，AE⊥AG，所以△ADG可以看成由△ABE繞頂點A旋轉90°，即BE⊥DG；

（2）根據等邊對等角即可證得BG∥CF；根據平行線的性質可的對應角相等，即可證得②△ABG∽△PCF；續②連接AP交GF的延長線于Q1，交BC的延長線于Q2，由位似的性質即可求得；

（3）連接AC，AF，CF．可證得△ABE∽△ACF，根據相似三角形的性質即可求得．

（1）∵AB=AD，∠BAE=90°﹣∠EAD=∠DAG，AE=AG，∴△ABE≌△ADG，即BE=DG．

分別延長GD，BE交于點M交EF于點N．

∵∠MEN+∠ENM=∠MEN+∠AGD=∠BEA+∠NEM=90°，∴BE⊥GD．

（∵△ABE≌△ADG，AB⊥AD，AE⊥AG，∴△ADG可以看成由△ABE繞頂點A旋轉90°，即BE⊥DG．）

（2）①∵AB=AG，∴∠ABG=∠AGB，∠CBG=∠FGB，∴∠GBC=∠BGF．

又∵BC=GF，∴∠BCF=∠GFC．

又∵∠CBG+∠FGB+∠BCF+∠GFC=360°，∴∠CBG+∠BCF=180°，即BG∥CF；

②續①又∵AB∥PC，AG∥PF，∴∠ABG=∠PCF，∠AGB=∠PFC即△ABG∽△PCF；

③續②連接AP交GF的延長線于Q1，交BC的延長線于Q2，則==，而AB=AG，PC=PF，∴=，亦有=，Q1P=Q2P，∴Q1，Q2重合，即BC，AP，GF相交于點Q，△ABG與△PCF位似．

（3）連接AC，AF，CF．

∵ABCD和AEFG都是正方形，∴CA=AB，AF=AE，∠BAC=∠EAF=45°，∴AC：AF=AB：AE=AB：AE，∠BAE=∠CAF，∴△ABE∽△ACF，=．