Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側），與y軸交于點A，拋物線的頂點為D．

（1）填空：點A的坐標為（　 ， 　 ），點B的坐標為（　 ， 　 ），點C的坐標為（　 ， 　 ），點D的坐標為（　 ， 　 ）；
（2）點P是線段BC上的動點（點P不與點B、C重合）
①過點P作x軸的垂線交拋物線于點E，若PE=PC，求點E的坐標；
②在①的條件下，點F是坐標軸上的點，且點F到EA和ED的距離相等，請直接寫出線段EF的長；
③若點Q是線段AB上的動點（點Q不與點A、B重合），點R是線段AC上的動點（點R不與點A、C重合），請直接寫出△PQR周長的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0，則y=2，

∴A（0，2），

令y=0，則﹣x2﹣x+2=0，解得x1=﹣3，x2=1（舍去），

∴B（﹣3，0），C（1，0），

由y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+1）2+可知D（﹣1，），

故答案為：0、2，﹣3、0，1、0，﹣1、；

（2）

解：①設P（n，0），則E（n，﹣n2﹣n+2），

∵PE=PC，

∴﹣n2﹣n+2=1﹣n，解得n1=﹣，n2=1（舍去），

∴當n=﹣時，1﹣n=，

∴E（﹣，），

②如圖1，設直線DE與x軸交于M，與y軸交于N，直線EA與x軸交于K，

根據E、D的坐標求得直線ED的斜率為，根據E、A的坐標求得直線EA的斜率為﹣，

∴△MEK是以MK為底邊的等腰三角形，△AEN是以AN為底邊的等腰三角形，

∵到EA和ED的距離相等的點F在頂角的平分線上，

根據等腰三角形的性質可知，EF是E點到坐標軸的距離，

∴EF=或；

③根據題意得：當△PQR為△ABC垂足三角形時，周長最小，所以P與O重合時，周長最小，

如圖2，作O關于AB的對稱點E，作O關于AC的對稱點F，連接EF交AB于Q，交AC于R，

此時△PQR的周長PQ+QR+PR=EF，

∵A（0，2），B（﹣3，0），C（1，0），

∴AB==，AC==，

∵S△AOB=×OE×AB=OAOB，

∴OE=，

∵△OEM∽△ABO，

∴==，即==，

∴OM=，EM=

∴E（﹣，），

同理求得F（，），

即△PQR周長的最小值為EF==．

　

【解析】（1）令x=0，求得A（0，2），令y=0，求得B（﹣3，0），C（1，0），由y=﹣x2﹣x+2轉化成頂點式可知D（﹣1，）；
（2）①設P（n，0），則E（n，﹣n2﹣n+2），根據已知條件得出﹣n2﹣n+2=1﹣n，解方程即可求得E的坐標；
②根據直線ED和EA的斜率可知直線與坐標軸的交角相等，從而求得與坐標軸構成的三角形是等腰三角形，根據等腰三角形的性質即可求得EF的長；
③根據題意得：當△PQR為△ABC垂足三角形時，周長最小，所以P與O重合時，周長最小，作O關于AB的對稱點E，作O關于AC的對稱點F，連接EF交AB于Q，交AC于R，此時△PQR的周長PQ+QR+PR=EF，然后求得E、F的坐標，根據勾股定理即可求得．