Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB=OB，點E、點F分別是OA、OD的中點，連接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于點M，EM交BD于點N，FN=，則線段BC的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】設EF=x，根據三角形的中位線定理表示AD=2x，AD∥EF，可得∠CAD=∠CEF=45°，證明△EMC是等腰直角三角形，則∠CEM=45°，證明△ENF≌△MNB，則EN=MN=x，BN=FN=，最后利用勾股定理計算x的值，可得BC的長．

設EF=x，

∵點E、點F分別是OA、OD的中點，

∴EF是△OAD的中位線，

∴AD=2x，AD∥EF，

∴∠CAD=∠CEF=45°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC=2x，

∴∠ACB=∠CAD=45°，

∵EM⊥BC，

∴∠EMC=90°，

∴△EMC是等腰直角三角形，

∴∠CEM=45°，

連接BE，

∵AB=OB，AE=OE

∴BE⊥AO

∴∠BEM=45°，

∴BM=EM=MC=x，

∴BM=FE，

易得△ENF≌△MNB，

∴EN=MN=x，BN=FN=，

Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，

∴()2＝x2+(x)2，

x=2或-2（舍），

∴BC=2x=4．

故答案為：4．