Question

【題目】課題：兩個重疊的正多邊形，其中的一個繞某一頂點旋轉所形成的有關問題．

實驗與論證：

設旋轉角∠A1A0B1＝α(α＜∠A1A0A2)，θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如圖所示．

(1)用含α的式子表示角的度數：θ3＝　 　，θ4＝　 　，θ5＝　 　；

(2)圖1﹣圖4中，連接A0H時，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請選擇其中的一個圖給出證明；若不存在，請說明理由；

歸納與猜想：

設正n邊形A0A1A2…An﹣1與正n邊形A0B1B2…Bn﹣1重合(其中，A1與B1重合)，現將正多邊形A0B1B2…Bn﹣1繞頂點A0逆時針旋轉α(0°＜α＜°)；

(3)設θn與上述“θ3、θ4、…”的意義一樣，請直接寫出θn的度數；

(4)試猜想在正n邊形的情形下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請將這條線段用相應的頂點字母表示出來(不要求證明)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）60°﹣α，α，36°﹣α；（2）存在，證明見詳解；（3）當n為奇數時，θn＝﹣α；當n為偶數時，θn＝α；（4）存在．當n為奇數時，直線A0H垂直平分，當n為偶數時，直線A0H垂直平分

【解析】

(1)由正三角形的性質得α+θ3＝60°，再由正方形的性質得θ4＝45°﹣(45°﹣α)＝α，最后由正五邊形的性質得θ5＝108°﹣36°﹣36°﹣α＝36°﹣α；

(2)存在，如在圖1中直線A0H垂直且平分的線段A2B1，△A0A1A2≌△A0B1B2，推得A2H＝B1H，則點H在線段A2B1的垂直平分線上；由A0A2＝A0B1，則點A0在線段A2B1的垂直平分線上，從而得出直線A0H垂直且平分的線段A2B1

(3)當n為奇數時，θn＝﹣α；

當n為偶數時，θn＝α

(4)多寫幾個總結規律：

當n為奇數時，直線A0H垂直平分，

當n為偶數時，直線A0H垂直平分.

解：(1) ∵三角形的性質得α+θ3＝60°，

∴θ3=60°﹣α，

由正方形的性質得θ4＝45°﹣(45°﹣α)＝α，

由正五邊形的性質得θ5＝108°﹣36°﹣36°﹣α＝36°﹣α，

故答案為60°﹣α；α；36°﹣α；

(2)存在．下面就所選圖形的不同分別給出證明：

選圖如，

圖中有直線A0H垂直平分A2B1，證明如下：

方法一：

證明：∵△A0A1A2與△A0B1B2是全等的等邊三角形

∴A0A2＝A0B1

∴∠A0A2B1＝∠A0B1A2，

又∠A0A2H＝∠A0B1H＝60°

∴∠HA2B1＝∠HB1A2

∴A2H＝B1H，∴點H在線段A2B1的垂直平分線上

又∵A0A2＝A0B1，∴點A0在線段A2B1的垂直平分線上

∴直線A0H垂直平分A2B1

方法二：

證明：∵△A0A1A2與△A0B1B2是全等的等邊三角形

∴A0A2＝A0B2，

∴∠A0A2B1＝∠A0B1A2，

又∠A0A2H＝∠A0B1H＝60°，

∴∠HA2B1＝∠HB1A2

∴A2H＝B1H，

在△A0A2H與△A0B1H中

∵A0A2＝A0B1，

HA2＝HB1，∠A0A2H＝∠A0B1H

∴△A0A2H≌△A0B1H

∴∠A0A2H＝∠A0B1H，

∴A0H是等腰三角形A0A2B1的角平分線，

∴直線A0H垂直平分A2B1選圖如，

圖中有直線A0H垂直平分A2B2，證明如下：

∵A0B2＝A0A2∴∠A0B2A2＝∠A0A2B2

又∵∠A0B2B1＝∠A0A2A3

∴∠HB2A2＝∠HA2B2

∴HB2＝HA2

∴點H在線段A2B2的垂直平分線上

又∵A0B2＝A0A2，∴點A0在線段A2B2的垂直平分線上

∴直線A0H垂直平分A2B2

(3)當n為奇數時，θn＝﹣α；

當n為偶數時，θn＝α．

(4)存在．

當n為奇數時，直線A0H垂直平分，

當n為偶數時，直線A0H垂直平分