Question

【題目】已知：如圖，正方形ABCD，BM、DN分別是正方形的兩個外角平分線，∠MAN＝45°，將∠MAN繞著正方形的頂點A旋轉，邊AM、AN分別交兩條角平分線于點M、N，聯結MN．

（1）求證：△ABM∽△NDA；

（2）聯結BD，當∠BAM的度數為多少時，四邊形BMND為矩形，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）22.5°．

【解析】

（1）由正方形ABCD，BM、DN分別是正方形的兩個外角平分線，可證得∠ABM=∠ADN=135°，又由∠MAN=45°，可證得∠BAM=∠AND=45°-∠DAN，即可證得△ABM∽△NDA；
（2）由四邊形BMND為矩形，可得BM=DN，然后由△ABM∽△NDA，根據相似三角形的對應邊成比例，可證得BM2=AB2，繼而求得答案．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AB=AD

∵BM、DN分別是正方形的兩個外角平分線，

∴∠ABM＝∠ADN＝135°，

∵∠MAN＝45°，

∴∠BAM＝∠AND＝45°﹣∠DAN，

∴△ABM∽△NDA；

（2）解：∵四邊形BMND為矩形，

∴BM＝DN，

∵△ABM∽△NDA，

∴，

∴BM2＝AB2，

∴BM＝AB，

∴∠BAM＝∠BMA＝＝22.5°．