Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過點C作⊙O的切線，交BA的延長線交于點D，過點B作BE⊥BA，交DC延長線于點E，連接OE，交⊙O于點F，交BC于點H，連接AC．
（1）求證：∠ECB=∠EBC；
（2）連接BF，CF，若CF=6，sin∠FCB= ，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BE⊥OB，

∴BE是⊙O的切線，∵EC是⊙O的切線，

∴EC=EB，

∴∠ECB=∠EBC

（2）解：連接CF、CO、AC．

∵EB=EC，OC=OB，

∴EO⊥BC，

∴∠CHF=∠CHO=90°，

在Rt△CFH中，∵CF=6，sin∠FCH= ，

∴FH=CFsin∠FCH= ，CH= = ，

設OC=OF=x，

在Rt△COH中，∵OC2=CH2+OH2，

∴x2=（ ）2+（x﹣ ）2，

∴x=5，

∴OH= ，

∵OH⊥BC，

∴CH=HB，∵OA=OB，

∴AC=2OH= ．

【解析】（1）只要證明EB是⊙O的切線，利用切線長定理可知EC=EB，即可解決問題．（2）連接CF、CO、AC．在Rt△CFH中，由CF=6，sin∠FCH= ，推出FH=CFsin∠FCH= ，CH= = ，設OC=OF=x，在Rt△COH中，由OC2=CH2+OH2 ， 可得x2=（ ）2+（x﹣ ）2 ， 解得x=5，推出OH= ，再利用三角形中位線定理證明AC=2OH即可解決問題．