Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣2經過點A（4，0）、B（1，0）兩點，點C為拋物線與y軸的交點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）P是x軸上方拋物線上的一個動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，問：是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）在直線AC上方的拋物線上找一點D，過點D作x軸的垂線，交AC于點E，是否存在這樣的點D，使DE最長，若存在，求出點D的坐標，以及此時DE的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x﹣2；（2）存在，P（2，1）；（3）存在，點D的坐標（2，1），此時DE的長為2．

【解析】

（1）用拋物線交點式表達式確定c的值，進而求解；

（2）tan∠OAC＝，以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似，則tan∠PAM＝2或，即可求解；

（3）確定DE的函數表達式，即可求解．

（1）設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣4）＝a（x2﹣5x+4）＝ax2+bx﹣2，

故4a＝﹣2，解得：a＝﹣，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+﹣2；

（2）存在，理由：

設點P（x，﹣x2+﹣2），則點M（x，0），

則PM＝﹣x2+﹣2，AM＝4﹣x，

∵tan∠OAC＝，

∵以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似，

故tan∠PAM＝或2，故＝2或，

解得：x＝2或4（舍去）或5（舍去），

故x＝2，

經檢驗x＝2是方程的解，

故P（2，1）；

（3）設直線AC的表達式為：y＝kx+t，則，解得，

故直線AC的表達式為：y＝x﹣2，

設點D（x，﹣x2+x﹣2），則點E（x，x﹣2），

DE＝（﹣x2+x﹣2）﹣（x﹣2）＝﹣x2+2x，

∵＜0，故DE有最大值，當x＝2時，DE的最大值為2，

此時點D（2，1）；

故點D的坐標（2，1），此時DE的長為2．