Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點P是AB邊上的一個動點，連接CP，過點P作PC的垂線交AD于點E，以PE為邊作正方形PEFG，頂點G在線段PC上. 對角線EG、FP相交于點O.

（1）若AP=3，求AE的長；

（2）連接AC，判斷點O是否在AC上，并說明理由；

（3）在點P從點A到點B的運動過程中，正方形PEFG也隨之運動，求DE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）AE=；（2）見解析；（3）DE的最小值為3.

【解析】試題分析：

（1）由已知易證∠A=∠B=∠EPG=90°，由此可得∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，從而可得∠AEP=∠BPC，這樣可證得△APE∽△BCP，再由相似三角形的性質結合AB=BC=4，AP=3即可求得AE的長；

（2）過點O分別作AB、AD的垂線，垂足分別為M、N，由已知條件易證△OPM≌△OEN，可得OM=ON，由此可得點O在∠BAD的平分線上，由正方形的對角線平分一組對角可得AC是∠BAD的平分線，從而說明點O在AC上；

（3）設AP=x，則BP=4﹣x，由（1）可知：△APE∽△BCP，從而可得，即 ，解得：AE=x﹣x2=﹣（x﹣2）2+1，結合AE+DE=AD=4可得DE=（x﹣2）2+3，由此即可得到DE的最小值為3.

試題解析：

（1）∵四邊形ABCD、四邊形PEFG是正方形，

∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，

∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，

∴∠AEP=∠BPC，

∴△APE∽△BCP，

∴，即，

解得：AE=；

（2）點O在AC上，理由：過點O分別作AD、AB的垂線，垂足分別為M、N,證得OM=ON，證得點O在∠BAD的平分線上，證得AC是∠BAD的平分線，所以，點O在AC上。

（3）設AP=x，則BP=4﹣x，由（1）可知：△APE∽△BCP，

∴，即 ，

解得：AE=x﹣x2=﹣（x﹣2）2+1，

∵AE+DE=AD=4，

∴DE=（x﹣2）2+3，

∴DE的最小值為3.