Question

【題目】 若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，請直接寫出所有滿足AC條件的長；

（2）如圖，點A在以BC為直徑的圓上，BD平分∠ABC，AD∥BC，∠ADC=90°．

①求證：△ABC為比例三角形；

②求的值．

（3）若以點C為頂點的拋物線y=mx2-4mx-12m(m＜0)與x軸交于A、B兩點，△ABC是比例三角形，若點M(x0，y0)為該拋物線上任意一點，總有n-≤-my02-40y0+298成立，求實數n的最大值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）①證明見解析；②；（3）10+．

【解析】

（1）先由三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，求出AC長度的范圍．因為三角形三邊都有可能是平方等于另兩邊乘積的邊，故需分三種情況討論，計算并判斷結果是否合理．

（2）①由BD平分∠ABC和AD∥BC可證得∠ABD=∠DBC=∠ADB，進而得AB=AD．因為BC為圓的直徑，根據圓周角定理得∠BAC=∠CDA=90°，再加上平行所得的∠ACB=∠DAC，即證得△ABC∽△DCA，由對應邊成比例得AC2=BCDA=BCAB，得證．

②由Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△BCD根據勾股定理得BD2=BC2+CD2=AB2+AC2+AC2-AB2=2AC2，故有BD=AC，進而得．

（3）先由拋物線解析式求點A、B、C坐標，求得AB=8，根據拋物線對稱性有AC=BC．由△ABC是比例三角形可得AB2=BCAC或AC2=ABBC，化簡后都得到AC=AB，把含m的式子代入即求得m的值，進而求得拋物線解析式和最大值．由于點M(x0，y0)在拋物線上，則得到y0的最大值．設z=-my02-40y0+298，把m的值代入并配方，得到關于y0的二次函數關系，且對應拋物線開口向下．由于y0范圍取不到此二次函數的頂點，故取y0的最大值求得z的最小值，進而得到n的最大值．

（1）∵AB=2，BC=3，

∴1＜AC＜5，

①若AB2=BCAC，則AC=，

②若BC2=ABAC，則AC=，

③若AC2=ABBC=6，則AC=，

綜上所述，滿足條件的AC的長為，，．

（2）①證明：∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

∵點A在以BC為直徑的圓上，

p>∴∠BAC=90°，

∵∠BAC=∠CDA=90°，∠ACB=∠DAC，

∴△ABC∽△DCA，

∴，

∴AC2=BCDA=BCAB，

∴△ABC為比例三角形，

②∵∠BAC=∠CDA=90°，AB=AD，

∴BC2=AB2+AC2，AC2=AD2+CD2=AB2+CD2，

∵AD∥BC，

∴∠BCD=180°-∠ADC=90°，

∴BD2=BC2+CD2=AB2+AC2+AC2-AB2=2AC2，

∴BD=AC，

∴；

（3）∵y=mx2-4mx-12m=m(x-2)2-16m(m＜0)，

∴拋物線開口向下，頂點C(2，-16m)，

∵y=0時，mx2-4mx-12m=0，

解得：x1=-2，x2=6，

∴A(-2，0)，B(6，0)，AB=8，

∴AC=BC=，

∵△ABC是比例三角形，

∴AB2=BCAC或AC2=ABBC，

∴AB=AC，

∴4=8，

解得：m1=(舍去)，m2=-，

∴拋物線解析式為y=-x2+x+3=-(x-2)2+4，

∵M(x0，y0)在拋物線上，

∴y0≤4，

設z=-my02-40y0+298=4y02-40y0+298=4(y0-5)2-2，

∴當y0≤4時，z隨x的增大而減小，

∴y0=4時，z最小值=4×(4-5)2-2=4×3-2=10，

∵n-≤z恒成立，即n-≤10，

∴n的最大值為10+.