Question

【題目】如圖,拋物線y=﹣(x﹣1)2+c與x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側(cè)）兩點(diǎn),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D,已知A(﹣1，0)．

（1）求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；

（2）判斷△CDB的形狀并說明理由；

（3）將△COB沿x軸向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度(0＜t＜3)得到△QPE．△QPE與△CDB重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）B（3，0），C（0，3），（2）△CDB為直角三角形；（3）S=

【解析】試題分析：（1）首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后進(jìn)一步確定點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；
（2）分別求出△CDB三邊的長(zhǎng)度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形；
（3）△COB沿x軸向右平移過程中，分兩個(gè)階段：
（I）當(dāng)0＜t≤時(shí)，如答圖2所示，此時(shí)重疊部分為一個(gè)四邊形；
（II）當(dāng)＜t＜3時(shí)，如答圖3所示，此時(shí)重疊部分為一個(gè)三角形．

試題解析：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0）在拋物線y=﹣（x﹣1）2+c上，

∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，得c=4，

∴拋物線解析式為：y=﹣（x﹣1）2+4，

令x=0，得y=3，

∴C（0，3）；

令y=0，得x=﹣1或x=3，

∴B（3，0）．

（2）△CDB為直角三角形．

理由如下：由拋物線解析式，得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．

如答圖1所示，

過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，則OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2．

過點(diǎn)C作CN⊥DM于點(diǎn)N，則CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1．

在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC=；

在Rt△CND中，由勾股定理得：CD=；

在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD=．

∵BC2+CD2=BD2，∴△CDB為直角三角形（勾股定理的逆定理）．

（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

∵B（3，0），C（0，3），

∴，

解得k=﹣1，b=3，

∴y=﹣x+3，直線QE是直線BC向右平移t個(gè)單位得到，

∴直線QE的解析式為：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t；

設(shè)直線BD的解析式為y=mx+m，

∵B（3，0），D（1，4），

∴，

解得：m=﹣2，n=6，

∴y=﹣2x+6.連接CQ并延長(zhǎng),射線CQ交BD于點(diǎn)G，則G（1.5,3）.

在△COB向右平移的過程中：

（I）當(dāng)0＜t≤1.5時(shí)，如答圖2所示：設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．

設(shè)QE與BD的交點(diǎn)為F，則： ，

解得，

∴F（3﹣t，2t）．

S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE=0.5PEPQ=0.5PBPK=0.5BEyF==0.5×3×3=0.5(3﹣t)2=0.5t2t=-1.5t2+3t；

（II）當(dāng)1.5＜t＜3時(shí)，如答圖3所示：設(shè)PQ分別與BC、BD交于點(diǎn)K、點(diǎn)J．

∵CQ=t,∴KQ=t,PK=PB=3﹣t．直線BD解析式為y=﹣2x+6,

令x=t，得y=6﹣2t，

∴J（t，6﹣2t）．

S=S△PBJ﹣S△PBK=0.5PBPJ﹣0.5PBPK=0.5（3﹣t）（6﹣2t）﹣0.5（3﹣t）2=0.5t2﹣3t+4.5．

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S= ．