Question

如圖，二次函數的圖象與x軸交于兩個不同的點A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸交于點C（0，3），連接BC、AC，該二次函數圖象的對稱軸與x軸相交于點D．

（1）求這個二次函數的解析式、
（2）點D的坐標及直線BC的函數解析式；
（3）點Q在線段BC上，使得以點Q、D、B為頂點的三角形與△ABC相似，求出點Q的坐標；
（4）在（3）的條件下，若存在點Q，請任選一個Q點求出△BDQ外接圓圓心的坐標．

Answer 1

（1）；（2）（1，0），；（3）（2，）或（，）；（4）（，）．

試題分析：（1）設二次函數為y=a（x+2）（x﹣4），把點C（0，3）代入求出a的值即可得出二次函數的解析式；
（2）由（1）中拋物線的解析式求出對稱軸方程，故可得出D點坐標，利用待定系數法求出直線BC的解析式；
（3）根據勾股定理求出BC的長，由于相似三角形的對應角不能確定，故應分∠QDB=∠CAB和∠DQB=∠CAB兩種情況進行討論；
（4）當點Q的坐標為（2，）時，設圓心的M（，y），根據MD=MQ即可求出y的值，故可得出結論．
試題解析：（1）∵二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于兩個不同的點A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸交于點C（0，3），
∴設二次函數為y=a（x+2）（x﹣4），把點C（0，3）代入得，a（0+2）（0﹣4）=3，解得，
∴這個一次函數的解析式為：；
（2）∵，∴拋物線的對稱軸是直線，∴點D的坐標為（1，0）．設直線BC的解析式為；，∴，解得，∴直線BC的解析式為．
（3）∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），D（1，0），∴OD=1，BD=3，CO=3，BO=4，AB=6，∴BC=，
如圖1，當∠QDB=∠CAB時，=，=，解得QB=，過點Q作QH⊥x軸于點H，∵OC⊥x軸，∴QH∥CO．∴=．解得QH=．把代入，得．∴此時，點Q的坐標為（2，）；
如圖2，當∠DQB=∠CAB時，=，即=，得QB=．過點Q作QG⊥x軸于點G，∵OC⊥x軸，∴QG∥CO．∴=．解得QG=．把代入，得．∴此時，點Q的坐標為（，）．
綜上所述，點Q坐標為（2，）或（，）；
（4）當點Q的坐標為（2，）時，設圓心的M（，y）．∵MD=MQ，∴，解得，∴M（，）．