Question

【題目】如圖，AB為半圓O的直徑，AC是⊙O的一條弦，D為的中點，作DE⊥AC，交AB的延長線于點F，連接DA．

（1）求證：EF為半圓O的切線；

（2）若DA=DF=，求陰影區域的面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）﹣6π．

【解析】試題分析：（1）直接利用切線的判定方法結合圓心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；

（2）直接利用得出S△ACD=S△COD，再利用S陰影=S△AED﹣S扇形COD，求出答案．

試題解析：解：（1）連接OD，∵D為的中點，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO，∴∠CAD=∠ADO，∵DE⊥AC，∴∠E=90°，∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，∴OD⊥EF，∴EF為半圓O的切線；

（2）連接OC與CD，∵DA=DF，∴∠BAD=∠F，∴∠BAD=∠F=∠CAD，又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°，∴∠F=30°，∠BAC=60°，∵OC=OA，∴△AOC為等邊三角形，∴∠AOC=60°，∠COB=120°，∵OD⊥EF，∠F=30°，∴∠DOF=60°，在Rt△ODF中，DF=，∴OD=DFtan30°=6，在Rt△AED中，DA=，∠CAD=30°，∴DE=DAsin30°=，EA=DAcos30°=9．

∵∠COD=180°-∠AOC-∠DOF=60°，由CO=DO，∴△COD是等邊三角形，∴∠OCD=60°，∴∠DCO=∠AOC=60°，∴CD∥AB．故S△ACD=S△COD，∴S陰影=S△AED﹣S扇形COD=×9×﹣=﹣6π．