Question

如圖(1)，直線與x軸交于點A、與y軸交于點D，以AD為腰，以x軸為底作等腰梯形ABCD(AB＞CD)，且等腰梯形的面積是8，拋物線經過等腰梯形的四個頂點.

圖(1)
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 如圖（2）若點P為BC上的—個動點（與B、C不重合），以P為圓心，BP長為半徑作圓，與軸的另一個交點為E，作EF⊥AD，垂足為F，請判斷EF與⊙P的位置關系，并給以證明；

圖（2）
(3) 在（2）的條件下，是否存在點P，使⊙P與y軸相切，如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）EF與⊙P相切.，證明見解析；(3) 存在， x=，P(，)．

試題分析：（1）過C作CE⊥AB于E，利用矩形的性質分別求得三點的坐標，利用求得的點的坐標，用待定系數法求得二次函數的解析式即可；
（2）連結PE，可以得到：PE∥DA，從而得出EF與⊙P相切；
（3）設⊙P與y軸相切于點G，P作PQ⊥x軸于點Q，設Q(x,0),用含有x的代數式分別表示出PG和PB，再根據PG=PB求出x的值即可．
試題解析：(1) ∵，當x=0時， y=；當y=0時，x=-2，
∴A(-2,0)，D，
∵ABCD為等腰梯形，
∴AD=BC，∠OAD=∠OBC
過點C作CH⊥AB于點H，則AO=BH，OH=DC.

∵ABCD的面積是，
∴8=，
∴DC=2，
∴C(2, )，B（4,0），
設拋物線解析式為（），代入A(-2,0)，D，B（4,0）
得，
解得，
即；
（2）連結PE，∵PE=PB，

∴∠PBE=∠PEB，
∵∠PBE=∠DAB，
∴∠DAB=∠PBE，
∴PE∥DA，
∵EF⊥AD，
∴∠FEP=∠AFF=90°，
又PE為半徑，EF與⊙P相切.；
(3)設⊙P與y軸相切于點G，P作PQ⊥x軸于點Q，
設Q(x,0),則QB=4-x，

∵∠PBA=∠DAO，，
∴∠PBA=∠DAO=60°，
∴PQ=， PB="8-2x" ，P(x, ),
∵⊙P與y軸相切于點G，⊙P過點B，
∴PG=PB，
∴x=8-2x，
∴x=，P(，)．