Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，點D是BC邊上一點且CD=1，點P是線段DB上一動點，連接AP，以AP為斜邊在AP的下方作等腰Rt△AOP．當(dāng)P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點O的運動路徑長為_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】過O點作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，連接CO，如圖，易得四邊形OECF為矩形，由△AOP為等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，則可證明△OAE≌△OPF，所以AE=PF，OE=OF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理得到CO平分∠ACP，從而可判斷當(dāng)P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點O的運動路徑為一條線段，接著證明CE=（AC+CP），然后分別計算P點在D點和B點時OC的長，從而計算它們的差即可得到P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點O的運動路徑長．

過O點作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，連接CO，如圖，

∵△AOP為等腰直角三角形，

∴OA=OP，∠AOP=90°，

易得四邊形OECF為矩形，

∴∠EOF=90°，CE=CF，

∴∠AOE=∠POF，

∴△OAE≌△OPF，

∴AE=PF，OE=OF，

∴CO平分∠ACP，

∴當(dāng)P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點O的運動路徑為一條線段，

∵AE=PF，

即AC-CE=CF-CP，

而CE=CF，

∴CE=（AC+CP），

∴OC=CE=（AC+CP），

當(dāng)AC=2，CP=CD=1時，OC=×（2+1）=，

當(dāng)AC=2，CP=CB=5時，OC=×（2+5）=，

∴當(dāng)P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點O的運動路徑長=-=2．

故答案為2．