Question

19．如圖，在菱形ABCD中，AB=20，∠DAB=60°，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上一動點（不與點A重合），延長ME交射線CD于點N，連接MD，AN．
（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；
（2）填空：
①當AM的值為10時，四邊形AMDN是矩形；
②當AM的值為20時，四邊形AMDN是菱形．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性質和已知條件可證明四邊形AMDN的對邊平行且相等即可；
（2）①有（1）可知四邊形AMDN是平行四邊形，利用有一個角為直角的平行四邊形為矩形即∠DMA=90°，所以AM=$\frac{1}{2}$AD=1時即可；
②當平行四邊形AMND的鄰邊AM=DM時，四邊形為菱形，利用已知條件再證明三角形AMD是等邊三角形即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，
又∵點E是AD邊的中點
∴DE=AE，
∴△NDE≌△MAE，
∴ND=MA，
∴四邊形AMDN是平行四邊形；
（2）解：①當AM的值為10時，四邊形AMDN是矩形．理由如下：
∵AM=10=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠ADM=30°
∵∠DAM=60°，
∴∠AMD=90°，
∴平行四邊形AMDN是矩形；
故答案為：10；
②當AM的值為20時，四邊形AMDN是菱形．理由如下：
∵AM=20，
∴AM=AD=20，
∴△AMD是等邊三角形，
∴AM=DM，
∴平行四邊形AMDN是菱形；
故答案為：20．

點評 本題考查了菱形的性質、平行四邊形的判定和性質、矩形的判定、以及等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握特殊圖形的判定以及重要的性質．