Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8），sin∠CAB=, E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連結CE.

（1）求AC和OA的長；
（2）設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式；
（3）在（2）的條件下試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），
（2），m的取值范圍是
（3）S存在最大值，點E的坐標為（－2，0），△BCE為等腰三角形

試題分析：（1）∵點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8），∴，，在Rt△AOC中，，∴，∴，∴
（2）依題意，，則，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴，即，∴，過點F作FG⊥AB，垂足為G. 則，∴，∴，∴，自變量m的取值范圍是
（3）S存在最大值，∵，且，∴當時，S有最大值，，∵，∴點E的坐標為（－2，0），∴△BCE為等腰三角形
點評：本題難度一般，主要難點是在第二小題，通過相似三角形對應邊成比例，可以列出相應的關系式