Question

【題目】（發現與思考）如圖①∠ACB＝∠ADB＝90°那么點D在經過A，B，C三點的圓上，如圖②，如果∠ACB＝∠ADB＝α（α≠90°）（點C，D在AB的同側），那么點D還在經過A，B，C三點的圓上？

（應用）若四邊形ABCD中，AD∥BC，∠CAD＝90°，點E在邊AB上，CE⊥DE．

（1）作∠ADF＝∠AED，交CA的延長線于點F（如圖④），求證：DF為Rt△ACD的外接圓的切線；

（2）如圖⑤，點G在BC的延長線上，∠BGE＝∠BAC，已知sin∠AED＝，AD＝1，求DG的長．

Answer 1

【答案】發現與思考:點D即不在⊙O內，也不在⊙O外，點D在⊙O上；應用:（1）見解析；（2）DG＝2．

【解析】

發現與思考：假設點D在⊙O內，利用圓周角定理及三角形外角的性質，可證得與條件相矛盾的結論，從而可得點D在⊙O上；
應用：（1）作出Rt△ACD的外接圓，由發現與思考可得點E在⊙O上，則可證得∠ACD＝∠FDA，又因為∠ACD＋∠ADC＝90°，于是有∠FDA＋∠ADC＝90°，即可證得DF為Rt△ACD的外接圓的切線；
（2）根據發現與思考可得點G在過C、A、E三點的圓上，即⊙O，進而易證四邊形ACGD是矩形，根據已知條件解直角三角形ACD可得AC的長，即DG的長．

解：發現與思考：如圖1，假設點D在⊙O內，延長AD交⊙O于點E，連接BE，則∠AEB＝∠ACB，

∵∠ADB是△BDE的外角，

∴∠ADB＞∠AEB，

∴∠ADB＞∠ACB，

因此，∠ADB＞∠ACB與條件∠ACB＝∠ADB矛盾，

所以點D也不在⊙O內，

因為點D即不在⊙O內，也不在⊙O外，

所以點D在⊙O上；

應用：（1）如圖2，取CD的中點O，則點O是Rt△ACD的外心，

∵∠CAD＝∠DEC＝90°，

∴點E在⊙O上，

∴∠ACD＝∠AED，

∵∠FDA＝∠AED，

∴∠ACD＝∠FDA，

∵∠DAC＝90°，

∴∠ACD+∠ADC＝90°，

∴∠FDA+∠ADC＝90°，

∴OD⊥DF，

∴DF為Rt△ACD的外接圓的切線；

（2）∵∠BGE＝∠BAC，

∴點G在過C、A、E三點的圓上，如圖3，

又∵過C、A、E三點的圓是Rt△ACD的外接圓，即⊙O，

∴點G在⊙O上，

∵CD是直徑，

∴∠DGC＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠ADG＝90°

∵∠DAC＝90°

∴四邊形ACGD是矩形，

∴DG＝AC，

∵sin∠AED＝，∠ACD＝∠AED，

∴sin∠ACD＝，

在Rt△ACD中，AD＝1，

∴CD＝3，

∴AC＝ ，

∴DG＝AC＝．