Question

如圖，已知直線l的解析式為，拋物線y = ax²＋bx＋2經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），B（2，0），D 三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及A點(diǎn)的坐標(biāo)，并在圖示坐標(biāo)系中畫出拋物線的大致圖象；
（2）已知點(diǎn) P（x，y）為拋物線在第二象限部分上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE垂直x軸于點(diǎn)E, 延長PE與直線l交于點(diǎn)F，請你將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)， 并求出S的最大值及S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將（2）中S最大時(shí)的點(diǎn)P與點(diǎn)B相連，求證：直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)一定在PB所在直線上．

Answer 1

（1），（–4，0），作圖見解析；（2），其中–4 < x < 0，12，（–2，2）；（3）證明見解析.

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，由y = ax²＋bx＋2經(jīng)過B（2，0），D ，將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之即可得拋物線的解析式為；將A（m，0）代入所求解析式即可求出m，得到A點(diǎn)的坐標(biāo)描點(diǎn)作出函數(shù)圖象.
（2）根據(jù)得到四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)；應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求出S的最大值及S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
（3）應(yīng)用待定系數(shù)法求出PB所在直線的解析式，設(shè)出上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出其關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，代入PB所在直線的解析式，滿足即得結(jié)論.
試題解析：（1）∵y = ax²＋bx＋2經(jīng)過B（2，0），D ，
∴，解得
∴拋物線的解析式為.
∵A（m，0）在拋物線上，∴，解得.
∴A（–4，0）.
作拋物線的大致圖象如下：

（2）∵由題設(shè)知直線l的解析式為，∴.
又∵AB=6，∴.
∴將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)為，其中–4 < x < 0.
∵，
∴S_最大= 12，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（–2，2）.

（3）∵ 直線PB過點(diǎn)P（–2，2）和點(diǎn)B（2，0），
∴PB所在直線的解析式為.
設(shè)Q是上的任一點(diǎn)，則Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為.
將代入顯然成立.
∴直線l上任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)一定在PB所在的直線上   .