Question

【題目】如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

①求面積最大值和此時(shí)的值；

②是直線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當(dāng)時(shí)，② ，

【解析】

（1）求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；
（2）①過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)H，根據(jù)△PBC面積＝×PH×OB，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②分AB是平行四邊形的邊，AB是平行四邊形的對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，

∴點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（4，0）、（0，2），

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，得，

解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為：；

（2）①過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)H，

則點(diǎn)P（m，），點(diǎn)H（m，），

∴△PBC面積＝×PH×OB＝×4×（）＝2m2＋8m＝2(m-2)2+8，

∴當(dāng)m＝2時(shí)，面積存在最大值8；

②設(shè)點(diǎn)P（m，），點(diǎn)Q（n，），

令，解得：，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（，0），

當(dāng)AB是平行四邊形的邊時(shí)，點(diǎn)A向右平移個(gè)單位得到B，

同樣點(diǎn)P（Q）向右平移個(gè)單位得到Q（P），

則m±＝n，＝，

解得：m＝（舍去）或（舍去）或，

∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為或；

當(dāng)AB是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

由中點(diǎn)公式得：m＋n＝，，

解得：m＝或（重復(fù)，舍去）；

綜上點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或．