Question

仔細觀察下列四個等式
1×2×3×4+1=25=5²
2×3×4×5+1=121=11²
3×4×5×6+1=361=19²
4×5×6×7+1=841=29²
（1）觀察上述計算結果，找出它們的共同特征．
（2）以上特征，對于任意給出的四個連續正整數的積與1的和仍具備嗎？若具備，試猜想，第n個等式應是什么？給出你的思考過程
（3）請你從第10個式子以后的式子中，再任意選一個式子通過計算來驗證你猜想的結論．

Answer 1

（1）都是完全平方數…（3分）；

（2）仍具備．也都是完全平方數…（5分）；
仔細觀察前5個算式與其結果的關系，發現：
1×2×3×4+1=（1×4+1）²
2×3×4×5+1=（2×5+1）²
3×4×5×6+1=（3×6+1）²
4×5×6×7+1=（4×7+1）²
5×6×7×8+1=（5×8+1）²
…
因此，猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]²=（n²+3n+1）²．
即，第n個等式是：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²…（8分）

（3）如11×12×13×14+1=24024+1=24025．
（11²+3×11+1）²=（121+33+1）²=155²=24025．
∴11×12×13×14+1=（11²+3×11+1）²．
猜想正確 …（10分）