Question

【題目】已知直線y＝－x＋2與x軸、y軸分別交于點A、C，拋物線y=－x2＋bx＋c過點A、C，且與x軸交于另一點B，在第一象限的拋物線上任取一點D，分別連接CD、AD，作于點E．

(1)求拋物線的表達式；

(2)求△ACD面積的最大值；

(3)若△CED與△COB相似，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）點D的坐標為D1(3，2)、D2(，)．

【解析】分析：(1)根據直線y＝－x＋2與x軸，y軸相交于點A，C，求點A，C的坐標，用待定系數法求拋物線的解析式；(2)過點D作DG⊥x軸于點G，交AC于點F，設D(t，)，由S△ACD＝S△CDF＋S△ADF，用含t的代數式表示S△ACD，結合二次函數的性質求解；(3)除了∠BOC＝∠CED外，△BOC與△CDE的對應關系不確定，所以需要分兩類討論，①當∠DCE＝∠BCO時，可得CD∥AB，點C，D的縱坐標相等；②當∠DCE＝∠CBO時，將△OCA沿AC翻折得△MCA，點O的對稱點為點M，過點M作MH⊥y軸于點H，AN⊥MH于點N，利用相似三角形的性質和勾股定理求出點M的坐標后，再由直線CM與拋物線的交點列方程組求解.

詳解：(1)∵直線與x軸.y軸分別交于點A.C，

∴A(4，0)，C(0，2)，OA＝4，OC＝2，

將A(4，0)，C(0，2)分別代入中，

，解得.

∴.

(2)如圖1，過點D作DG⊥x軸于點G，交AC于點F，

設D(t，)，其中，則F(t，).

∴DF＝－()＝，

S△ACD＝S△CDF＋S△ADF

＝

＝

＝

＝

＝.

∴當t＝2時，S△ACD最大＝4．

(3)設y＝0，則＝0，解得，，

∴B(－1，0)，OB＝1.

∵，，∴.

∵∠BOC＝∠COA＝90°，

∴△BOC∽△COA，

∴∠OCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠OBC.

①當∠DCE＝∠BCO時，∠DCE＝∠OAC，

∴CD∥OA，點D的縱坐標與點C縱坐標相等，

令y＝2，則＝2，解得，，

∴D1(3，2).

②如圖2，當∠DCE＝∠CBO時，∠DCE＝∠OCA，

將△OCA沿AC翻折得△MCA，點O的對稱點為點M，

過點M作MH⊥y軸于點H，AN⊥MH于點N，

則CM＝CO＝2，AM＝AO＝4，

設HM＝m，MN＝HN－HM＝OA－HM＝4－m，

由∠AMC＝∠AOC＝∠ANM＝∠MHC＝90°易證△CHM∽△MNA，且相似比，

∴AN＝2MH＝2m，CH＝MN＝2－m，

在Rt△CMH中，由勾股定理得：，解得，，

∴MH＝，OH＝，M(，).

設直線CM的表達式為y＝kx＋n，則，解得，

∴，

由，解得，，

∴D2(，).

綜上所述，點D的坐標為D1(3，2).D2(，)．