Question

如圖，二次函數y=x2+bx+c經過點（-1，0）和點（0，-3）．

（1）求二次函數的表達式；

（2）如果一次函數y=4x+m的圖象與二次函數的圖象有且只有一個公共點，求m的值和該公共點的坐標；

（3）將二次函數圖象y軸左側部分沿y軸翻折，翻折后得到的圖象與原圖象剩余部分組成一個新的圖象，該圖象記為G，如果直線y=4x+n與圖象G有3個公共點，求n的值．

 

 

Answer 1

（1）y=x2-2x-3；（2）-12，（3，0）；（3）-3或-4．

【解析】

試題分析：（1）把（-1，0）和點（0，-3）代入函數表達式，利用待定系數法求二次函數解析式解答即可；

（2）聯立兩函數解析式消掉未知數y，得到關于x的一元二次方程，再根據方程有兩個相等的實數根，△=0列式求解得到m的值，再求出x的值，然后求出y的值，從而得到公共點的坐標；

（3）根據軸對稱性寫出翻折部分的二次函數解析式，再根據直線與圖象有3個公共點，①聯立直線與翻折后的拋物線的解析式，消掉y得到關于x的一元二次方程，有兩個相等的實數根，②直線經過拋物線與y軸的交點．

試題解析：（1）把（-1，0）和（0，-3）代入到y=x2+bx+c中，得，

解得，

所以y=x2-2x-3；

（2）由題意得：，

消掉y整理得，x2-6x-（3+m）=0，

∴△=（-6）2+4（3+m）=0，

解得m=-12，

此時，x1=x2=，

y=4×3-12=0，

∴m=-12，公共點為（3，0）；

（3）原拋物線解析式為：y=x2-2x-3，

原拋物線沿y軸翻折后得到的新拋物線：y=x2+2x-3（x≥0），

由，

得x2-2x-3-n=0，

△=（-2）2+4（3+n）=0，

解得n=-4，

當直線y=4x+n經過點（0，-3）時，直線與圖象G有3個公共點，

把（0，-3）代入到y=4x+n中，得n=-3，

綜上所述，n=-3或-4．

考點：二次函數綜合題．