Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）當△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；
（2）當△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖3，延長BD交CF于點H．求證：BD⊥CF．

Answer 1

【答案】
（1）解：BD=CF．

理由如下：由題意得，∠CAF=∠BAD=θ，

在△CAF和△BAD中，

，

∴△CAF≌△BAD（SAS），

∴BD=CF

（2）解：由（1）得△CAF≌△BAD，

∴∠CFA=∠BDA，

∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠ADN=90°，

∴∠CFA+∠FNH=90°，

∴∠FHN=90°，即BD⊥CF

【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△CAF≌△BAD，證明結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義證明即可．
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．