Question

如圖，拋物線y=x²+bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（一1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；

（3）點M是x軸上的一個動點，當△DCM的周長最小時，求點M的坐標．

Answer 1

解：（1）∵點在拋物線上，

∴，∴，

∴拋物線的解析式為．

∵，

∴頂點D的坐標為． 

（2）△ABC是直角三角形．當時，，∴，則．

當時，，∴，則．

 ∴,,  ∴．
∵,,,

∴,  

∴△ABC是直角三角形． 

（3）作出點C關于軸的對稱點C′，則．

連接C′D交軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，CD一定，當MC+MD的值最小時，△CDM的周長最小．  

設直線C′D的解析式為，則：

則，解得，

∴   當時，，則，

∴．