Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，點A、B分別在x軸和y軸上，△OBA是等腰直角三角形且AB=，線段PQ=1，線段PQ的端點P從點O出發，沿△OBA的邊按O→B→A→O運動一周，同時另一端點Q隨之在x軸的非負半軸上運動．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）若P運動的路程為m，△OPA的面積為S，求S與m之間的函數關系式；

（3）當點P運動一周時，點Q運動的總路程為______．

Answer 1

【答案】（1）A點的坐標為：（-1，0），B點的坐標為：（0，1）；（2）S與m之間的函數關系式為S=m（0＜m≤1），或S=+-m（1＜m＜+1）；（3）2．

【解析】

（1）由△OBA是等腰直角三角形且AB=，得出OA=OB=1，即可得出A、B兩點的坐標；（2）分三種情況討論：①當點P在OB邊上時，由三角形面積公式即可得出結果；②當點P在AB邊上時，作PD⊥OA于D，△APD是等腰直角三角形，則PB=m-1，求出AP的長，由等腰直角三角形的性質得出PD的長，由三角形面積公式即可得出結果；③當點P在AO邊上時，△OPA不存在；（3）根據題意正確畫出從O→B→A運動一周的圖形，分四種情況進行計算：①點P從O→B時，路程是線段PQ的長；②當點P從B→C時（QC⊥AB，C為垂足），點Q從O運動到Q，計算OQ的長就是運動的路程；③點P從C→A時，點Q由O向左運動，路程為QO；④點P從A→O時，點Q運動的路程就是點P運動的路程；最后相加即可．

（1）∵△OBA是等腰直角三角形且AB=，

∴OA=OB=1，

∴A點的坐標為：（-1，0），B點的坐標為：（0，1）；

（2）分三種情況討論：

①當點P在OB邊上，即0＜m≤1時，如圖1所示：

△OPA的面積S=OA×OP=×1×m=m；

②當點P在AB邊上，即1＜m＜+1時，如圖2所示：

作PD⊥OA于D，△APD是等腰直角三角形，

∵PB=m-1，

∴AP=AB-PB=-（m-1）=+1-m，

∴PD=AP=（+1-m）=1+-m，

∴△OPA的面積=OA×PD=×1×（1+-m）= +-m，即S=+-m；

③當點P在AO邊上，即+1≤m≤+2時，△OPA不存在；

綜上所述，S與m之間的函數關系式為S=m（0＜m≤1），或S=+-m（1＜m＜+1）；

（3）∵△OBA是等腰直角三角形，

∴∠ABO=∠BAO=45°，

∵OA=OB=1，PQ=1，

①當點P從O→B時，點Q運動的路程為PQ的長，即為1；

②如圖3所示，QC⊥AB，則∠ACQ=90°，即PQ運動到與AB垂直時，垂足為P，

當點P從B→C時，

∵∠ABO=∠BAO=45°，

∴∠OQC=90°-45°=45°，

∴AQ=PQ=，

∴OQ=AQ-OA=-1，

則點Q運動的路程為QO=-1；

③當點P從C→A時，點Q運動的路程為QO=-1；

④當點P從A→O時，點Q運動的路程為AO=1，

∴點Q運動的總路程為：1+-1+-1+1=2；

故答案為：2．