Question

【題目】等邊△ABC中，點E在AB上，點D在CA的延長線上，且ED=EC．試探索以下問題：

（1）如圖1，當E為AB中點時，試確定線段AD與BE的大小關系，請你直接寫出結論：AD BE；

（2）如圖2，若點E為線段AB上任意一點，（1）中結論是否成立，若成立，請證明結論，若不成立，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）AD=BE；（2）證明見解析

【解析】分析：(1)根據題意易得∠D=∠AED=30°,即可得AD=AE,再根據AE=BE,即可解題;

(2)通過作EF∥AC構造等邊三角形把BE轉化為EF,再利用“角角邊”易證△AED≌△FCE,可得AD=FE,即可解題.

本題解析：

（1）AD=BE；

（2）過點E作EF∥AC交BC于點F，

∴∠EFB=∠ACB，∠BEF=∠BAC，∠FEC=∠ECA，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=∠BAC=∠B=60°，

∴∠EFB=∠BEF=∠B=60°，

∴△BEF是等邊三角形，

∴BE=EF，

∵ED=EC，

∴∠D=∠ECA，

∴∠D=∠FEC，

∵∠BFE=∠BAC=60°，

∴∠EAD=∠CFE=120°，

在△AED和△FCE中，

∴△AED≌△FCE（AAS），

∴AD=FE，

∴AD=BE。