Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過Rt△ABC的三個頂點，其中∠ACB=90°，點A坐標為（－2，0），點C坐標為（0，4）.

（1）求該拋物線的解析式.

（2）如果將線段OB繞原點O逆時針旋轉60°到0D位置，那么點B的對應點D是否會落在該拋物線的對稱軸上？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點D不會落在該拋物線的對稱軸上.理由見解析.

【解析】試題分析：（1）首先證明△ACO∽△CBO，根據相似三角形的性質可得，然后可得B點坐標，再利用待定系數法求出拋物線解析式即可；

（2）根據拋物線解析式計算出對稱軸，再根據等邊三角形的判定可得△BOD是等邊三角形，再根據等腰三角形三線合一的性質可得D點橫坐標，進而可得答案．

試題解析：（1）由題意得：CO⊥AB，OA=2,OC=4

∵∠ACB=90°, CO⊥AB

∴∠ACO+∠BCO=90°,∠ACO+∠CAO=90°，∠AOC=∠COB=90°

∴∠BCO=∠CAO

∴△AOC∽△COB

∴

∴ 解得 OB=8

∴點B坐標為（8，0）分

∵拋物線經過點A、B、C

∴

解得

∴該拋物線的解析式為.

（2）點D不會落在該拋物線的對稱軸上.

理由：作DM⊥x軸于點M，則在Rt△ODM中，OD=OB=8,∠DOM=60°

∴∠ODM=30°

∴OM=.

∴點D的橫坐標為4

又由（1）可知，該拋物線的對稱軸是直線x=

∴旋轉后點B的對應點D不會落在該拋物線的對稱軸上.