Question

【題目】已知拋物線（其中、為常數且）與軸交于和兩點，與軸交于點.

（1）當時，求拋物線的對稱軸方程及頂點坐標；

（2）填空：__________，點的坐標為____________.（以上結果均用含的式子表示）；

（3）連接，線段的垂直平分線交拋物線的對稱軸于點，軸上存在一點（異于點）使得.

①求點的坐標；

②點關于拋物線對稱軸的對稱點為點，試求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）①，②37

【解析】

（1）代入，根據過可求出n，然后將解析式化成頂點式可得對稱軸方程及頂點坐標；

（2）代入，整理可得，然后根據拋物線的對稱性求點的坐標；

（3）①求出點C坐標，設，，分別根據和利用兩點間距離公式列出方程求解即可；

②根據列式化簡，然后利用二次函數的性質求最大值即可.

（1）當時，拋物線的解析式為，

代入得：，

解得，

即解析式為，

∴拋物線的對稱軸為：，頂點坐標為；

（2）依題意得，，則，

∵拋物線的對稱軸為：，由對稱性可得；

（3）①依題意，得，即，設，

∵在線段的垂直平分線上，

∴，

∴，

∴，

解得：，即，

設，

∴，

∴，

∴，

解得，，（舍），

∴；

②，

，

，

，

當時，面積隨的增大而增大，

∴當時，面積的最大值為.