Question

如圖，對稱軸為直線的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4）．

（1）求拋物線解析式及頂點坐標；

（2）設點E（，）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形．求平行四邊形OEAF的面積S與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

     ①當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？

     ②是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由拋物線的對稱軸是，可設解析式為．把A、B兩點坐標代入上式，得解之，得故拋物線解析式為，頂點為（2）∵點在拋物線上，位于第四象限，且坐標適合，∴y<0，即 －y>0,－y表示點E到OA的距離．∵OA是的對角線，∴．因為拋物線與軸的兩個交點是（1，0）的（6，0），所以，自變量的取值范圍是1＜＜6．①根據題意，S = 24時，即．化簡，得  解之，得故所求的點E有兩個，分別為E₁（3，－4），E₂（4，－4）．點E₁（3，－4）滿足OE = AE，所以是菱形；點E₂（4，－4）不滿足OE = AE，所以不是菱形．②當OA⊥EF，且OA = EF時，是正方形，此時點E的坐標只能是（3，－3）．而坐標為（3，－3）的點不在拋物線上，故不存在這樣的點E，使為正方形．