Question

18．某數學興趣小組在用黑色圍棋進行擺放圖案的游戲中，一同學擺放了如下圖案，請根據圖中信息完成下列的問題：

（1）填寫下表：

圖形編號	①	②	③	…	…
圖中棋子的總數	3	6	10	…	…

（2）第10個圖形中棋子為66顆圍棋；
（3）該同學如果繼續擺放下去，那么第n個圖案要用$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$顆圍棋；
（4）如果該同學手上剛好有90顆圍棋子，那么他按照這種規律從第①個圖案擺放下去，是否可以擺放成完整的圖案后剛好90顆圍棋子一顆不剩？如果可以，那么剛好擺放完成幾個完整的圖案？如果不行，那么最多可以擺放多少個完整圖案，還剩余幾顆子？（只答結果，不說明理由）

Answer 1

分析 （1）由圖可以得到表格中需要填寫的數據；
（2）由圖可知每個圖案需要的棋子數，從而可以求得第10個圖形中的棋子數；
（3）根據表格中的數據和圖案，可以發現這些圖形的規律，從而可以得到第n個圖案需要的棋子數；
（4）根據題意，可知排放的所有圖案的棋子總數不大于90，從而可以解答本題．

解答 解：（1）由圖可得，第一個圖案3顆棋子，
第二個圖案6顆棋子，
第三個圖案10顆棋子．
故答案為：6，10；
（2）由圖可得，第10個圖案中的棋子為：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66個，
故答案為：66；
（3）由圖可知：第一個圖案1+2顆棋子，
第二個圖案1+2+3顆棋子，
第三個圖案1+2+3+4顆棋子，
故第n個圖案的棋子為：1+2+3+…+（n+1）=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$顆，
故答案為：$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$；
（4）不可以擺放成完整的圖案，
∵3+6+10+…+$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$≤90，n為正整數，
解得n=6，還剩余7個棋子，
即最多可以擺放6個完整圖案，還剩余7顆子．

點評 本題考查規律性：圖形的變化類，解題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想發現其中的規律，找出所求問題需要的條件．