Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E、F分別是AC、BC、AB的中點，連接DE．點P從點D出發，沿DE方向勻速運動；同時，點Q從點E出發，沿EB方向勻速運動，兩者速度均為1cm/s；當其中一點停止運動時，另外一點也停止運動．連接PQ、PF，設運動時間為ts（0＜t＜4）．解答下列問題：

（1）當t為何值時，△EPQ為等腰三角形？

（2）如圖①，設四邊形PFBQ的面積為ycm2，求y與t之間的函數關系式；

（3）當t為何值時，四邊形PFBQ的面積與△ABC的面積之比為2：5？

（4）如圖②，連接FQ，是否存在某一時刻，使得PF與QF互相垂直？若存在，求出此時t的值；若不存，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當t=時，△EPQ為等腰三角形；（2）y=；（3）1；（4）t=時，PF與QF互相垂直.

【解析】

（1）根據勾股定理求出AB=10，由DE是中位線可知DE=5，△EPQ為等腰三角形只需PE=EQ，即t=5-t,解方程即可.（2）過P作PH⊥BC于H，連接FE，由sin∠PEH=，可知PH=，即△EQP的高，根據△CDE可求出DE邊的高，即△PEF和△EFB的高，根據y=S△PEF+S△EFB﹣S△EQP，即可得答案；（3）先求出△ABC的面積，根據（2）所得關系式及已知面積比，列方程即可得答案.（4）如圖③過P作PG⊥AB于G，過Q作QH⊥AB于H，過D作DM⊥AB于M，由勾股定理可知AM的長，△BHQ中，利用∠B的三角函數值可得BH、QH的長，由PF⊥FQ，可證明△PGF∽△FHQ，根據對應邊的關系列出方程即可求得t的值.

（1）∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，

∴AB=10cm，

由題意得：DP=EQ=t，

∵D為AC的中點，E為BC的中點，

∴DE=AB=5cm，

當EP=EQ時，5﹣t=t，

t=，

即當t=時，△EPQ為等腰三角形；

（2）如圖②，過P作PH⊥BC于H，連接FE，

sin∠PEH= ，

∴ ，

∴PH= ，

設△DCE中，DE邊上的高為h，

×3×4=×5h，h=，

∴y=S△PEF+S△EFB﹣S△EQP，

=×PE+×FB﹣EQPH，

=（5﹣t）+×5﹣ ，

=﹣t+12；

（3）∵，

∴5S四邊形PFBQ=2S△ABC，

∴5（﹣t+12）=2××6×8，

t2﹣9t+8=0，

t1=1，t2=8（舍）；

（4）如圖③，過P作PG⊥AB于G，過Q作QH⊥AB于H，過D作DM⊥AB于M，

由（3）知：PG=DM=，

Rt△ADM中，∵AD=3，

∴AM=，

∴FG=5﹣﹣t=﹣t，

Rt△QHB中，BQ=4﹣t，

sin∠B= ，

∴QH=，

∴BH=，

∴FH=5﹣BH=，

∵PF⊥FQ，

易得△PGF∽△FHQ，

∴，

∴PGQH=FHGF，

∴，

4t2﹣11t=0，

t1=0（舍），t2=．

∴當t=時，PF與QF互相垂直．