Question

【題目】綜合題
（1）【閱讀發現】如圖①，在△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于點D，E為AD上一點，且DE=BD，可知AB=CE．

（2）【類比探究】如圖②，在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，E是OC上任意一點，AG⊥BE于點G，交BD于點F．判斷AF與BE的數量關系，并加以證明．

（3）【推廣應用】在圖②中，若AB=4，BF= ，則△AGE的面積為 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AD⊥BC，∠ACB=45°，

∴∠ADB=∠CDE=90°，△ACD是等腰直角三角形，

∴AD=CD，

在△ABD和△CED中， ，

∴△ABD≌△CED（SAS），

∴AB=CE；

（2）

解：AF=BE；理由如下：

∵正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠BAD=90°，∠ABF=∠BCE=45°，AC⊥BD，OA=OB=OC，

∵AG⊥BE，

∴∠FAD+∠AFO=90°，

∵AG⊥BE，

∴∠FAO+∠AEG=90°，

∴∠AFO=∠AEG，

∵∠AFB=∠FAO+90°，

∴∠AFB=∠BEC，

在△ABF和△BCE中， ，

∴△ABF≌△BCE（AAS），

∴AF=BE；

（3）
【解析】【推廣應用】解：∵AB=AD=4，∠BAD=90°，
∴BD= =4 ，
∴OA=OB=OC= BD=2 ，
∵BF= ，
∴OF=OB﹣BF= ，
∴AF= = ，
由角的互余性質得：∠OAF=∠OBE，
在△OBE和△OAF中， ，
∴△OBE≌△OAF（ASA），
∴OE=OE= ，
∴AE=OA+OE=3 ，
∵∠OAF=∠GAE，∠AOF=∠AGE=90°，
∴△AOF∽△AGE，
∴ ，即 ，
解得：GE= ，AG= ，
∴△AGE的面積= AGGE= × × = ；
所以答案是： ．
【考點精析】掌握等腰直角三角形和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．