Question

【題目】問題探究

請在圖的正方形ABCD的對角線BD上作一點P，使最小；

如圖，點P為矩形ABCD的對角線BD上一動點，，，點E為BC邊的中點，請作一點P，使最小，并求這個最小值；

問題解決

如圖，李師傅有一塊邊長為1000米的菱形采摘園ABCD，米，BD為小路，BC的中點E為一水池，李師傅現在準備在小路BD上建一個游客臨時休息納涼室P，為了節省土地，使休息納涼室P到水池E與大門C的距離之和最短，那么是否存在符合條件的點P？若存在，請作出點P的位置，并求出這個最短距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：見解析 的最小值為3；存在，且最短距離約為985米

【解析】

（1）利用兩點之間線段最短，即可得出結論；

（2）先確定出點P的位置，再求出∠CBD=30°，進而判斷出△BCC'是等邊三角形，即可得出結論；

（3）先確定出點P的位置，再求出OA，OB，進而利用面積求出AH，最后用勾股定理即可得出結論．

解：如圖，連接AC交BD于點P，則點P就是所要求作的點，

理由：在BD上任取一點異于點P的點Q，連接AQ，CQ，

；

如圖

，

作點C關于BD的對稱點C'，連接EC'交BD于點P，連接C'P，

∵點C與點C'關于BD的對稱點，

∴CP=C'P，

∴C'P+PE=C'P'+P'E=C'E，

在BD上任取異于點P的P'，連接P'E，P'C，C'P'，

∴C'P'+P'E=P'C+P'E＞C'E，

∴點P就是所要求作的點，EC'的長度PE+PC的最小值，

∵四邊形ABCD是矩形，，

，，

，

，

∵點C和點C'關于BD對稱，

設CC'交BD于G，

∴BD是CC'的垂直平分線，連接BC'，

∴∠C'BD=∠CBD=30°，BC'=BC，

∴∠C'BC=60°，

∴△BCC'是等邊三角形，

∵點E是BC的中點，

∴CE⊥BC，

，

，

即：的最小值為3；

存在，如圖，連接AE交BD于P，點P就是所要求作的點，AE的長度就是休息納涼室P到水池E與大門C的距離之和最短的值，

，

四邊形ABCD是菱形，

點C關于BD的對稱點為A，連接AE，交BD于P，點P就是所要求作的點，

米，米，于Q，

米，米，

過點A作于H，

，

米，

在中，根據勾股定理得，米，

米，

在中，米，

即：存在點P，且最短距離約為985米．