Question

2．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜邊AB上中線CD，得到第1個三角形ACD；DE⊥BC于點E，作Rt△BDE斜邊DB上中線EF，得到第2個三角形DEF；依次作下去…則第1個三角形的面積等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，第n個三角形的面積等于$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{{2}^{2n}}$．

Answer 1

分析 根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD，然后判定出△ACD是等邊三角形，同理可得被分成的第二個、第三個…第n個三角形都是等邊三角形，再根據后一個等邊三角形的邊長是前一個等邊三角形的邊長的一半求出第n個三角形的邊長，然后根據等邊三角形的面積公式求解即可．

解答 解：∵∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，
∴CD=AD，
∵∠A=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
同理可得，被分成的第二個、第三個…第n個三角形都是等邊三角形，
∵CD是AB的中線，EF是DB的中線，…，
∴第一個等邊三角形的邊長CD=DB=$\frac{1}{2}$AB=AC=a，
∴第一個三角形的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
第二個等邊三角形的邊長EF=$\frac{1}{2}$DB=$\frac{1}{2}$a，
…
第n個等邊三角形的邊長為$\frac{1}{{2}^{n-1}}$a，
所以，第n個三角形的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$a×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$a）=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{{2}^{2n}}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{{2}^{2n}}$．

點評 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等邊三角形的判定與性質，三角形的面積判斷出后一個三角形的邊長是前一個三角形邊長的一半，求出第n個等邊三角形的邊長是解題的關鍵．