Question

【題目】已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝108°，試解答下列問題：

（1）如圖1所示，則∠O＝　 　°，并判斷OB與AC平行嗎？為什么？

（2）如圖2，若點E、F在線段BC上，且滿足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．則∠EOC的度數等于　 　°；

（3）在第（2）題的條件下，若平行移動AC，如圖3．

①求∠OCB：∠OFB的值；

②當∠OEB＝∠OCA時，求∠OCA的度數（直接寫出答案，不必寫出解答過程）．

Answer 1

【答案】（1）72，OB∥AC，見解析；（2）40；（3）①∠OCB：∠OFB＝1：2；②∠OCA＝54°

【解析】

（1）首先根據平行線的性質可得∠B+∠O＝180，再根據∠A＝∠B可得∠A+∠O＝180，進而得到OB∥AC；

（2）根據角平分線的性質可得∠EOF＝∠BOF，∠FOC＝∠FOA，進而得到∠EOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝40；

（3）①由BC∥OA可得∠FCO＝∠COA，進而得到∠FOC＝∠FCO，故∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，進而得到∠OCB：∠OFB＝1：2；

②由（1）知：OB∥AC，BC∥OA，得到∠OCA＝∠BOC，∠OEB＝∠EOA，根據（1）、（2）的結果求得．

解：（1）∵BC∥OA，∠B=108

∴∠O＝180-108=72，

∵BC∥OA，

∴∠B+∠O＝180，

∵∠A＝∠B

∴∠A+∠O＝180，

∴OB∥AC

故答案為：72；

（2）∵∠A＝∠B＝108，由（1）得∠BOA＝180﹣∠B＝72，

∵∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，

∴∠EOF＝∠BOF，∠FOC＝∠FOA，

∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝36

故答案為：36；

（3）①∵BC∥OA，

∴∠FCO＝∠COA，

又∵∠FOC＝∠AOC，

∴∠FOC＝∠FCO，

∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，

∴∠OCB：∠OFB＝1：2；

②由（1）知：OB∥AC，∴∠OCA＝∠BOC，

由（2）可以設：∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，

∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β

由（1）知：BC∥OA，

∴∠OEB＝∠EOA＝α+β+β＝α+2β

∵∠OEB＝∠OCA

∴2α+β＝α+2β

∴α＝β

∵∠AOB＝72，

∴α＝β＝18

∴∠OCA＝2α+β＝36+18＝54．