Question

【題目】已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝m，點E是邊BC上一點，BE＝1，連接AE．

（1）沿AE翻折△ABE使點B落在點F處，

①連接CF，若CF∥AE，求m的值；

②連接DF，若≤DF≤，求m的取值范圍．

（2）△ABE繞點A順時針旋轉得△AB1E1，點E1落在邊AD上時旋轉停止．若點B1落在矩形對角線AC上，且點B1到AD的距離小于時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①2；②1≤m；（2）＜m≤4.

【解析】

（1）①畫出圖形，由CF∥AE可得內錯角和同位角相等，由翻折有對應角相等，等量代換后出現等腰三角形，即求出m的值．
②由于△ABE的形狀大小是固定的，其翻折圖形也固定，故可求點F到AD的距離FG與AG的長度，根據△DFG是直角三角形即可利用勾股定理用含m的式子表示DF2的長度，此時可把DF2看作是m的二次函數，根據二次函數圖象的性質和DF2的范圍，確定自變量m的范圍．
（2）根據點B1在AC上，利用內錯角相等即三角函數相等可用含m的式子表示B1到AC的距離B1M，即求出m的最小值．又畫圖可知，當點E1落在AD上時，m最大，畫出圖形，利用∠ACB=∠B1AE1即三角函數相等即求出m的值．

解：（1）①如圖1，∵CF∥AE

∴∠FCE＝∠AEB，∠CFE＝∠AEF

∵△ABE翻折得到△AFE

∴EF＝BE＝1，∠AEF＝∠AEB

∴∠FCE＝∠CFE

∴CE＝EF＝1

∴m＝BC＝BE+CE＝2

∴m的值是2．

②如圖2，過點F作GH⊥AD于點G，交BC于點H

∴GH⊥BC

∴∠AGF＝∠FHE＝90°

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠BAD＝∠B＝90°

∴四邊形ABHG是矩形

∴GH＝AB＝2，AG＝BH

∵△ABE翻折得到△AFE

∴EF＝BE＝1，AF＝AB＝2，∠AFE＝∠B＝90°

∴∠AFG+∠EFH＝∠AFG+∠FAG＝90°

∴∠EFH＝∠FAG

∴△EFH∽△FAG

∴

設EH＝x，則AG＝BH＝x+1

∴FG＝2EH＝2x

∴FH＝GH﹣FG＝2﹣2x

∴

解得：x＝

∴AG＝，FG＝

∵AD＝BC＝m

∴DG＝|AD﹣AG|＝|m﹣|

∴DF2＝DG2+FG2＝（m﹣）2+2≥，

即可把DF2看作關于m的二次函數，拋物線開口向上，最小值為.

∵

∴

∵（m﹣）2+2＝ 解得：m1＝，m2＝1

∴根據二次函數圖象可知，1≤m

（2）如圖3，過點B1作MN⊥AD于點M，交BC于點N

∴MN∥AB，MN＝AB＝2

∵AC＝

∴sin∠ACB＝

∵AD∥BC，點B1在AC上

∴∠MAB1＝∠ACB

∴sin∠MAB1＝

∴

∵點B1到AD的距離小于

∴MB1＝

解得：

∵m＞0

∴m＞

如圖4，當E1落在邊AD上，且B1在AC上時，m最大，

此時，∠ACB＝∠B1AE1＝∠BAE

∴tan∠ACB＝tan∠BAE

∴

∴m＝BC＝2AB＝4

∴m的取值范圍是＜m≤4