Question

【題目】如圖1，Rt△ABC中，點D，E分別為直角邊AC，BC上的點，若滿足AD2+BE2＝DE2，則稱DE為R△ABC的“完美分割線”．顯然，當DE為△ABC的中位線時，DE是△ABC的一條完美分割線．

（1）如圖1，AB＝10，cosA＝，AD＝3，若DE為完美分割線，則BE的長是　 　．

（2）如圖2，對AC邊上的點D，在Rt△ABC中的斜邊AB上取點P，使得DP＝DA，過點P畫PE⊥PD交BC于點E，連結DE，求證：DE是直角△ABC的完美分割線．

（3）如圖3，在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝5，DE是其完美分割線，點P是斜邊AB的中點，連結PD、PE，求cos∠PDE的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）根據題意求出BC的長，設BE＝x，則CE＝6﹣x，由勾股定理得DE2＝CD2+CE2＝52+（6﹣x）2，代入到AD2+BE2＝DE2中即可求出BE．

（2）現根據題意找出EP=EB，再由勾股定理得出DP2+EP2＝DE2=AD2+BE2即DE是直角△ABC的完美分割線．

（3）本題需做輔助線：延長DP至F，使PF＝PD，連接BF，EF，根據題意得出ED＝EF．

再過點P作PM⊥AC，PN⊥BC，證明△MPD∽△NPE，設PD＝a，則PE＝2a，求出DE，即可求出cos∠PDE的值．

解：（1）∵AB＝10，cosA＝，

∴cosA＝，

∴AC＝8，CD＝5，

∴BC=＝＝6，

設BE＝x，則CE＝6﹣x，

在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2＝52+（6﹣x）2，

∵DE為完美分割線，

∴AD2+BE2＝DE2，

∴32+x2＝52+（6﹣x）2，

解得：x＝．

∴BE＝．

故答案為：．

（2）證明：如圖2，

∵DA＝DP，

∴∠DAP＝∠DPA，

∵PE⊥PD，

∴∠DPA+∠EPB＝90°，

又∠A＝∠B，

∴∠EPB＝∠B，

∴EP＝EB，

∴AD2+BE2＝DP2+EP2＝DE2，

∴DE是直角△ABC的完美分割線．

（3）解：延長DP至F，使PF＝PD，連接BF，EF，

∵AP＝BP，∠APD＝∠BPF，

∴△APD≌△BPF（SAS），

∴AD＝BF，∠A＝∠FBP，

∴∠EBF＝∠CBA+∠FBP＝∠CBA+∠A＝90°，

∵DE是完美分割線，

∴DE2＝AD2+BE2＝BF2+BE2＝EF2，即ED＝EF．

又PD＝PF，

∴∠EPD＝90°，

過點P作PM⊥AC，PN⊥BC，

則∠MPD＝∠NPE＝90°﹣∠MPE，

∴△MPD∽△NPE，

∴，

設PD＝a，則PE＝2a，則DE＝＝a，

∴cos∠PDE＝＝．