Question

如圖，點A（m，m＋1），B（m＋1，2m－3）都在反比例函數的圖象上．

（1）求m，k的值； 
（2）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點， 以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數表達式．

Answer 1

（1）m＝3，k＝12；（2）或

試題分析：（1）根據反比例函數圖象上的點的坐標的特征可得，即可求得結果；
（2）存在兩種情況，①當M點在x軸的正半軸上，N點在y軸的正半軸上時，②當M點在x軸的負半軸上，N點在y軸的負半軸上時，根據平行四邊形的性質求解即可.
（1）由題意可知，
解得m₁＝3，m₂＝－1（舍去）
∴A（3，4），B（4，3）；
∴k＝4×3＝12；
（2）存在兩種情況，如圖：
 
①當M點在x軸的正半軸上，N點在y軸的正半軸上時，設M₁點坐標為（x₁，0），N₁點坐標為（0，y₁）．
∵四邊形AN₁M₁B為平行四邊形，
∴線段N₁M₁可看作由線段AB向左平移3個單位，再向下平移3個單位得到的
由（1）知A點坐標為（3，4），B點坐標為（4，3），
∴N₁點坐標為（0，1），M₁點坐標為（1，0）
設直線M₁N₁的函數表達式為，把x＝1，y＝0代入，解得．
∴直線M₁N₁的函數表達式為；
②當M點在x軸的負半軸上，N點在y軸的負半軸上時，設M₂點坐標為（x₂，0），N₂點坐標為（0，y₂）． 
∵AB∥N₁M₁，AB∥M₂N₂，AB＝N₁M₁，AB＝M₂N₂，
∴N₁M₁∥M₂N₂，N₁M₁＝M₂N₂．   
∴線段M₂N₂與線段N₁M₁關于原點O成中心對稱．
∴M₂點坐標為（-1，0），N₂點坐標為（0，-1）．
設直線M₂N₂的函數表達式為，把x＝-1，y＝0代入，解得，
∴直線M₂N₂的函數表達式為 
所以，直線MN的函數表達式為或．
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現，需特別注意.