Question

【題目】我們把滿足某種條件的所有點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿射線AC方向以1個(gè)單位秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿射線CB方向以2個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ的中點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)為__．

Answer 1

【答案】3．

【解析】

先以C為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意知0≤t≤6，求得t＝0及t＝6時(shí)M的坐標(biāo)，得到直線M1M2的解析式為y＝﹣2x+8．過(guò)點(diǎn)M2作M2N⊥x軸于點(diǎn)N，則M2N＝6，M1N＝3，M1M2＝3，線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)度．

以C為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系：

依題意，可知0≤t≤6，當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（4，0）；

當(dāng)t＝6時(shí)，點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（1，6），

設(shè)直線M1M2的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴直線M1M2的解析式為y＝﹣2x+8．

設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，

則有點(diǎn)Q（0，2t），P（8﹣t，0），

∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ中點(diǎn)M3的坐標(biāo)為（，t），

把x＝代入y＝﹣2x+8，得y＝﹣2×+8＝t，

∴點(diǎn)M3在M1M2直線上，

過(guò)點(diǎn)M2作M2N⊥x軸于點(diǎn)N，則M2N＝6，M1N＝3，

∴M1M2＝3，

∴線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)度．

故答案為：3．