Question

【題目】如圖1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點M是BC的中點，作正方形MNPQ，使點A、C分別在MQ和MN上，連接AN、BQ．
（1）直接寫出線段AN和BQ的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）將正方形MNPQ繞點M逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ≤360°）
①判斷（1）的結(jié)論是否成立？請利用圖2證明你的結(jié)論；
②若BC=MN=6，當θ（0°＜θ≤360°）為何值時，AN取得最大值，請畫出此時的圖形，并直接寫出AQ的值．

Answer 1

【答案】
（1）BQ=AN
（2）解：①BQ=AN成立．

理由：如圖2，連接AM，

∵在Rt△BAC中，M為斜邊BC中點，

∴AM=BM，AM⊥BC，

∴∠AMQ+∠QMB=90°．

∵四邊形PQMN為正方形，

∴MQ=NM，且∠QMN=90°，

∴∠AMQ+∠NMA=90°，

∴∠BMQ=∠AMN．

在△BMQ和△AMN中，

，

∴△BMQ≌△AMN（SAS），

∴BQ=AN；

②由①得，BQ=AN，

∴當BQ取得最大值時，AN取得最大值．

如圖3，當旋轉(zhuǎn)角θ=270°時，BQ=AN（最大），此時∠AMQ=90°．

∵BC=MN=6，M是BC的中點，

∴MQ=6，AM= BC=3，

∴在Rt△AMQ中，由勾股定理得

AQ= = =3 ．

【解析】解：（1）BQ=AN．理由：如圖1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點M是BC的中點，
∴AM⊥BC，BM=AM，
∴∠AMB=∠AMC=90°．
∵四邊形PQMN是正方形，
∴QM=NM．
在△QMB和△NMA中，
，
∴△QMB≌△NMA（SAS），
∴BQ=AN．
所以答案是：BQ=AN；
【考點精析】關(guān)于本題考查的勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．