Question

【題目】已知拋物線C：y＝與直線l：y＝kx+b相交于點A，B，直線l與y軸交于點P．

（1）當k＝0時，求的值；

（2）點M是拋物線上的動點，過點M作MG⊥直線l于點G，當k＝0時，求的值；

（3）點M是拋物線上的動點，過點M作MG∥y軸交直線l于點G，當k＝2時，求證：不論b為何實數，的值為定值，并求定值；

（4）若將（2）的拋物線改為“y＝ax2”，其他條件不變，則的值還為定值嗎？若是，請求出定值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析，定值為；（4）為定值，＝|a|．

【解析】

（1）求出拋物線與直線的交點坐標，由兩點距離公式求得線段長度，便可計算的值；

（2）設M點的坐標，求出拋物線與直線的交點坐標，用兩點距離公式求得線段長度，進而計算結果；

（3）設M點的坐標，求出拋物線與直線的交點坐標，用兩點距離公式求得線段長度，進而計算結果；

（4）依照前面的解法進行計算便可．

解：（1）當k＝0時，y＝b，

∴OP＝|b|，

∵＝b，

∴x＝±b，

∴A（﹣b，b），B（b，b），

∴AB＝2b，

∴＝＝；

（2）當k＝0時，y＝b，

設M（x，），

∵MG⊥直線l，

∴MG＝|﹣b|，

∵A（﹣b，0），B（b，0），

∴GA＝|x+b|，GB＝|x﹣b|，

∴＝＝；

（3）當k＝2時，y＝2x+b，

設M（x，），

∵MG∥y軸，

∴G（x，2x+b），

∴GM＝|﹣2x﹣b|＝，

解方程組得，

或

A（，），B（3+，b+6+），

∴GA＝＝，

GB＝＝，

∴GAGB＝5|x2﹣6x﹣3b|，

∴；

（4）是定值．

當k＝0時，y＝b，

設M（x，ax2），

∵MG⊥直線l，

∴MG＝|ax2﹣b|，

解方程組得，

或，

∵A（﹣，b），B（，b），

∴GA＝|x+|，GB＝|x﹣|，

∴＝

∴＝|a|為定值．