Question

23、如圖所示，已知O是∠EPF的平分線上的一點，以O為圓心的圓與角的兩邊分別交于點A、B和C、D．
（1）求證：PB=PD；
（2）若角的頂點P在圓上或圓內，（1）中的結論還成立嗎？若不成立，請說明理由；若成立，請加以證明．

Answer 1

分析：（1）過O作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F．根據角平分線的性質可知OE=OF，PE=PF，再利用全等三角形的性質證明．
（2）成立，證明的理論依據相同．

解答：解：（1）證明：過O作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F．
∵OP平分∠EPF，
∴OE=OF，又OP=OP，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴PE=PF，
∴AB=CD，則BE=DF，
∴PE+BE=PF+DF，
∴PB=PD．

（2）上述結論仍成立．如下圖所示．證明略．
當點P在圓上時，
根據解平分線的性質可知OE=OF，
∴△OPE≌△OPF，
∴PE=PF，
根據垂徑定理得AE=PE，CF=PF，
∴AP=CP，
當點P在圓內時，
根據解平分線的性質可知OE=OF，
∴△OPE≌△OPF，
∴PE=PF，
連接OA，OC則△OAE≌△OCF，
∴AE=CF，
∴AP=CP．

點評：本題綜合考查了垂徑定理和全等三角形的判定及性質．注意做幾何題時一定要圖題結合，利用圖形來直觀形象的解題．