Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，作CD⊥AB，垂足為D，E為弧BC的中點，連接AE、BE，AE交CD于點F．

（1）求證：∠AEC=90°﹣2∠BAE；

（2）過點E作⊙O的切線，交DC的延長線于G，求證：EG=FG；

（3）在（2）的條件下，若BE=4，CF=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）⊙O的半徑為10．

【解析】

連接AC、BC，先根據等弧得：∠CAE=∠BAE，則∠CAB=2∠BAE，再由直徑所對的圓周角為直角得：∠ACB=90°，直角三角形的兩銳角互余得：

∠CAB+∠CBA=90°，等量代換可得結論；

（2）如圖2，連接EO,設證明則

（3）如圖3，作輔助線，構建直角三角形，證明則，由（2）得，則CM∥EG，設則 根據三角函數得: 列式求得x的值，在△OBM中，設則根據勾股定理列方程可得結論．

證明：（1）如圖1，連接AC、BC，

∴∠CEA=∠CBA，

∵E為的中點，

∴=,

∴∠CAE=∠BAE，

∴

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠CBA=90°，

∴2∠BAE+∠AEC=90°，

∴∠AEC=90°﹣2∠BAE；

（2）如圖2，連接EO，

∵OA=OE，

∴∠OEA=∠OAE，

設∠OEA=∠OAE=α，

∵EG為切線，

∴OE⊥EG，

∴∠OEG=90°，

∴

∵DG⊥AB，

∴∠FDA=90°，

∴∠FAD+∠AFD=90°，

∴

∴

∴GE=GF；

（3）如圖3，連接CE、CB、OE、OC，CB與AE交于點N，CB與OE交于點M，

∵E為的中點，

∴∠COM=∠BOM，

∵OC=OB，

∴OM⊥BC，

∴∠OMB=90°，

由（2）得∠GEM=90°，

∴CM∥EG，

∴∠GEF=∠CNF，

∵∠GFE=∠GEF，

∴∠CFE=∠CNF，

∴

設則

∴

解得：（舍），

由勾股定理得：

在△OBM中，設 則

即

∴

∴

則⊙O的半徑為10．