Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點，則下列結論：①∠AMD=90°；②M為BC的中點；③AB+CD=AD；④ ；⑤M到AD的距離等于BC的一半；其中正確的有（　　）

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個

Answer 1

【答案】D

【解析】過M作ME⊥AD于E，

∵∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點，

∴∠MDE=∠MDC=∠CDA，∠MAD=∠MAB=∠BAD，

∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，

∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=×180°=90°，

∴∠AMD=180°-（∠MDA+∠MAD）=90°，∴①正確；

∵DM平分∠CDE，∠C=90°，ME⊥DA，

∴MC=ME，同理ME=MB，

∴MC=MB=ME=BC，∴②正確；

∴M到AD的距離等于BC的一半，∴⑤正確；

∵在Rt△DEM和Rt△DCM中，MD=MD，ME=MC，

∴Rt△DEM≌Rt△DCM，∴DE=DC，S△DEM=S△DCM，

同理AE=AB，S△AEM=S△ABM，

∴AD=AE+ED=AB+CD；S△AMD=S△DEM+S△AEM=S梯形ABCD，∴③④正確.

綜上①②③④⑤都正確，故選D．