Question

（2012•北海）如圖，AB是O的直徑，AE交O于點E，且與O的切線CD互相垂直，垂足為D．
（1）求證：∠EAC=∠CAB；
（2）若CD=4，AD=8：①求O的半徑；②求tan∠BAE的值．

Answer 1

分析：（1）首先連接OC，由CD是⊙O的切線，CD⊥OC，又由CD⊥AE，即可判定OC∥AE，根據平行線的性質與等腰三角形的性質，即可證得∠EAC=∠CAB；
（2）①連接BC，易證得△ACD∽△ABC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得AB的長，繼而可得⊙O的半徑長；
②連接CF與BF．由四邊形ABCF是⊙O的內接四邊形，易證得△DCF∽△DAC，然后根據相似三角形的對應邊成比例，求得AF的長，又由AB是⊙O的直徑，即可得∠BFA是直角，利用勾股定理求得BF的長，即可求得tan∠BAE的值．

解答：（1）證明：連接OC．（1分）
∵CD是⊙O的切線，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AE，
∴OC∥AE，
∴∠1=∠3，（2分）
∵OC=OA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
即∠EAC=∠CAB；（3分）

（2）解：①連接BC．
∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AE于點D，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠1=∠2，
∴△ACD∽△ABC，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，（5分）
∵AC²=AD²+CD²=4²+8²=80，
∴AB=

AC2

AD

=

80

8

=10，
∴⊙O的半徑為10÷2=5．（6分）

②連接CF與BF．
∵四邊形ABCF是⊙O的內接四邊形，
∴∠ABC+∠AFC=180°，
∵∠DFC+∠AFC=180°，
∴∠DFC=∠ABC，
∵∠2+∠ABC=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∴∠2=∠DCF，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠DCF，
∵∠CDF=∠CDF，
∴△DCF∽△DAC，
∴

CD

AD

=

DF

CD

，（8分）
∴DF=

CD2

AD

=

42

8

=2，
∴AF=AD-DF=8-2=6，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BFA=90°，
∴BF=

AB2-AF2

=

102-62

=8，
∴tan∠BAD=

BF

AF

=

8

6

=

4

3

．   （10分）

點評：此題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、圓周角定理以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．