Question

【題目】如圖，在中，，，平分，交邊于點．

（1）如圖1，過點作于，若已知，求的度數；

圖1

（2）如圖2，過點作于，若恰好又平分，求的度數；

圖2

（3）如圖3，平分的外角，交的延長線于點，作于，設，試求的值．（用含有的代數式表示）

圖3

（4）如圖4，在圖3的基礎上分別作和的角平分線，交于點，作于，設，試直接寫出的值．（用含有的代數式表示）

圖4

Answer 1

【答案】（1）10°（2）70°（3）=-30°（4）=

【解析】

（1）根據三角形的內角和與角平分線的性質得到∠EAC=50°，再根據直角三角形兩銳角互余得到∠DAC=40°，再根據角度的和差關系即可求解；

（2）設=x,根據直角三角形兩銳角互余，表示出∠DAC，再表示出∠BAC，根據三角形內角和得到方程即可求出x;

（3）分別用含n的式子表示出，，即可得到；

（4）在（3）的基礎上再表示出，，即可得到．

（1）∵，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°

∵平分，

∴∠EAC==50°

∵

∴∠DAC=90°-∠C =40°

∴=∠EAC-∠DAC=10°；

（2）設=x,

∵

∴∠DAC=90°-∠C =90°-x

∵平分，

∴=2∠DAC=180°-2x

∵平分，

∴=2=360°-4x

在△ABC中，+∠B+∠C=180°

∴360°-4x+30°+x=180°

解得x=70°

∴=70°；

（3）∵，

∴∠BAC=180°-∠B-=150°-

∵平分，

∴∠EAC==

∴∠AEC=180°-∠EAC -=

∴∠DEF=∠AEC=

∵

∴=90°-∠DEF =-15°

∵

∴∠BCG=180°-∠ACB=180°-

∵平分

∴∠DCF==

∴=180°-∠EAC-∠ACF=180°-∠EAC-∠ACB-∠DCF =15°

∴=-15°-15°=-30°；

（4）=

理由如下：

∵

由（3）可得∠BAE =∠EAC==

∵AF1平分∠BAE

∴∠F1AE=∠BAE =

由（3）同理可得+=

又

∴+90°=++n

∴=

∵CF1平分

∴∠BCF1=∠BCF∠BCG =

∴=180°-∠F1AC-∠ACF1=180°-∠F1AE-∠EAC-∠ACB-∠BCF1=180°-()-()--()=22.5°

∴=-22.5°=

故=．