Question

16、設A=x²+y²+2x-2y+2，B=x²-5x+5，x，y均為正整數．若B^A=1，則x的所有可以取到的值為

1，2，3，4

Answer 1

分析：如果B^A=1，那么可能有三種情況：①A=0且B≠0，②B=1，③B=-1且A為偶數．首先判斷當x，y均為正整數時，A≠0，所以排除第一種情況；然后分別令B=1，B=-1，求出對應的x的值，并判斷B=-1時A是否為偶數．

解答：解：∵A=x²+y²+2x-2y+2=（x+1）²+（y-1）²，
∴當x=-1且y=1時，A=0，
而x，y均為正整數，
∴A≠0．
分如下兩種情況：
①當B=1時，x²-5x+5=1，
即x²-5x+4=0，
解得x=1或4；
②當B=-1時，x²-5x+5=-1，
即x²-5x+6=0，
解得x=2或3．
當x=2時，A=（2+1）²+（y-1）²=9+（y-1）²，y為偶數時，A為偶數，符合題意；
當x=3時，A=（3+1）²+（y-1）²=16+（y-1）²，y為奇數時，A為偶數，符合題意．
綜上可知，x的所有可以取到的值為1，2，3，4．
故答案為1，2，3，4．

點評：本題主要考查有理數乘方的運算性質及分類討論思想，屬于競賽題型，有一定難度．