Question

【題目】某商店銷售10臺A型和20臺B型電腦的利潤為4000元，銷售20臺A型和10臺B型電腦的利潤為3500元．
（1）求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤；
（2）該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍，設購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元． ①求y關于x的函數關系式；
②該商店購進A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大？
（3）實際進貨時，廠家對A型電腦出廠價下調m（0＜m＜100）元，且限定商店最多購進A型電腦70臺，若商店保持同種電腦的售價不變，請你根據以上信息及（2）中條件，設計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案．

Answer 1

【答案】
（1）解：設每臺A型電腦銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元；根據題意得

解得

答：每臺A型電腦銷售利潤為100元，每臺B型電腦的銷售利潤為150元．

（2）解：①據題意得，y=100x+150（100﹣x），即y=﹣50x+15000，

②據題意得，100﹣x≤2x，解得x≥33 ，

∵y=﹣50x+15000，﹣50＜0，

∴y隨x的增大而減小，

∵x為正整數，

∴當x=34時，y取最大值，則100﹣x=66，

即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦的銷售利潤最大．

（3）據題意得，y=（100+m）x+150（100﹣x），即y=（m﹣50）x+15000，

33 ≤x≤70

①當0＜m＜50時，y隨x的增大而減小，

∴當x=34時，y取最大值，

即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦的銷售利潤最大．

②m=50時，m﹣50=0，y=15000，

即商店購進A型電腦數量滿足33 ≤x≤70的整數時，均獲得最大利潤；

③當50＜m＜100時，m﹣50＞0，y隨x的增大而增大，

∴當x=70時，y取得最大值．

即商店購進70臺A型電腦和30臺B型電腦的銷售利潤最大．

【解析】（1）設每臺A型電腦銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元；根據題意列出方程組求解，（2）①據題意得，y=﹣50x+15000， ②利用不等式求出x的范圍，又因為y=﹣50x+15000是減函數，所以x取34，y取最大值，（3）據題意得，y=（100+m）x﹣150（100﹣x），即y=（m﹣50）x+15000，分三種情況討論，①當0＜m＜50時，y隨x的增大而減小，②m=50時，m﹣50=0，y=15000，③當50＜m＜100時，m﹣50＞0，y隨x的增大而增大，分別進行求解．