Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點O是菱形ABCD的對稱中心．邊AB與x軸平行，點B（1，-2），反比例函數 （k≠0）的圖象經過A，C兩點．

（1）求點C的坐標及反比例函數的解析式．
（2）直線BC與反比例函數圖象的另一交點為E，求以O，C，E為頂點的三角形的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連結AC，BD，

∵坐標原點O是菱形ABCD的對稱中心，
∴AC，BD相交于點O，
且∠AOB=90°，
∵B（1，﹣2），且AB∥x軸，
∴設A（a，﹣2），則AO2=a2+4，BO2=5，AB2=（1﹣a）2 ，
在Rt△AOB中，由勾股定理得（1﹣a）2=a2+4+5，解得a=﹣4，
∴A（﹣4，﹣2），∴C（4，2），
∵反比例函數 （k≠0）的圖象經過A，C兩點，
∴反比例函數解析式為 ；
（2）解：連結OE，則△OCE是以O，C，E為頂點的三角形，設直線BC的解析式為y=kx+b，
∵點B（1，﹣2），C（4，2）在該直線上，
∴ ，解得： ，
∴直線BC的解析式為 ，設其與y軸交于點F（0， ），
∵反比例函數為 ，∴ ，解得x1=4，x2= ，
∴點E的橫坐標為 ，
∴以O，C，E為頂點的三角形的面積= = ．
【解析】（1）連結AC，BD，根據坐標原點O是菱形ABCD的對稱中心，可得AC，BD相交于點O，根據菱形的性質得出∠AOB=90°，根據B（1，-2），且AB∥x軸，可設A（a，-2），則AO2=a2+4，BO2=5，AB2=（1-a）2 ， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得點A、C的坐標，再根據待定系數法可求反比例函數解析式。
（2）連結OE，則△OCE是以O，C，E為頂點的三角形，利用待定系數法求出直線BC的函數解析式，再求出直線BC與y軸的交點坐標，然后將反比例函數和直線BC聯立方程組，求解得出點E的坐標，再根據三角形的面積公式計算即可得出答案。
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．